Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Конечнопорождённый модуль


Конечнопорождённым модулем M {displaystyle M} над ассоциативным кольцом A {displaystyle A} называется такой модуль, который порождается конечным числом своих элементов. Например, для правого модуля это означает, что существует конечное множество элементов m 1 , m 2 , … , m n ∈ M {displaystyle m_{1},m_{2},ldots ,m_{n}in M} таких, что любой элемент из M {displaystyle M} представим в виде суммы m 1 a 1 + m 2 a 2 + … + m n a n {displaystyle m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}+ldots +m_{n}a_{n}} , где a 1 , a 2 , … , a n ∈ A {displaystyle a_{1},a_{2},ldots ,a_{n}in A} — какие-то элементы кольца A {displaystyle A} .

В числе свойств, тесно связанных с конечнопорождённостью — конечнопредставленность, конечносвязанность и когерентность модуля. Над нётеровым кольцом все четыре свойства эквивалентны.

Конечнопорождённые модули над полем — это в точности конечномерные векторные пространства.

Свойства

Образ конечнопорождённого модуля при гомоморфизме также конечнопорождён. В общем случае, подмодули конечнопорождённого модуля не обязательно являются конечнопорождёнными. Например, рассмотрим кольцо R = Z[x1, x2…] многочленов от бесконечного числа переменных. Это кольцо конечно порождено как R-модуль. Рассмотрим его подмодуль (т. e. идеал), состоящий из всех многочленов с нулевым коэффициентом при константе. Если бы у этого модуля было конечное порождающее множество, то каждый одночлен xi должен бы был содержаться в одном из многочленов этого множества, что невозможно.

Модуль называется нётеровым, если любой его подмодуль конечно порождён. Более того, модуль над нётеровым кольцом является конечнопорождённым тогда и только тогда, когда он является нётеровым.

Пусть 0 → M′MM′′ → 0 — точная последовательность модулей. Если M′ и M′′ здесь конечно порождены, то и M конечно порождён. Верны и некоторые утверждения, частично обратные к данному. Если M конечно порождён и M' конечно представлен (это более сильное условие, чем конечнопорождённость, см. ниже), то M′ конечно порождён.

В коммутативной алгебре существует определённая связь между конечнопорождённостью и целыми элементами. Коммутативная алгебра A над R называется конечнопорождённой над R, если существует конечное множество её элементов, такое, что A — наименьшее подкольцо A, содержащее R и эти элементы. Это более слабое условие, чем конечнопорождённость: например, алгебра многочленов R[x] — конечнопорождённая алгебра, но не конечнопорождённый модуль. Следующие утверждения эквивалентны:

  • A — конечнопорождённый модуль;
  • A — конечнопорождённая алгебра, являющаяся целым расширением R.

Конечно представленные, конечно связанные и когерентные модули

Свойство конечнопорождённости можно сформулировать так: конечнопорождённый модуль M — это модуль, для которого существует эпиморфизм

f : RkM.

Рассмотрим теперь эпиморфизм

φ : FM

из свободного модуля F в M.

  • Если ядро эпиморфизма φ конечно порождено, M называется конечно связанным модулем. Поскольку M изоморфно F/ker(φ), это свойство можно выразить следующими словами: M получается из свободного модуля добавлением конечного числа соотношений.
  • Если ядро эпиморфизма φ конечно порождено и ранг F конечен, M называется конечно представленным модулем. Здесь у M имеется конечное число генераторов (образы генераторов F) и конечное число соотношений (генераторов ker(φ)).
  • Когерентный модуль — это конечнопорождённый модуль, все конечнопорождённые подмодули которого конечно представлены.

Если основное кольцо R нётерово, все четыре условия эквивалентны.

Хотя условие когерентности кажется более «громоздким», чем условия конечной связанности и представленности, оно также интересно, потому что категория когерентных модулей является абелевой, в отличие от категории конечнопорождённых или конечно представленных модулей.


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: