Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Эта-функция Дирихле

Дата: 10-12-2020, 21:33 » Раздел: Статьи  » 

В аналитической теории чисел эта-функция Дирихле — это функция, определённая следующим рядом Дирихле, сходящимся для любого комплексного числа s, у которого действительная часть больше 0.

η ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n s = 1 1 s − 1 2 s + 1 3 s − 1 4 s + ⋯ {displaystyle eta (s)=sum _{n=1}^{infty }{(-1)^{n-1} over n^{s}}={frac {1}{1^{s}}}-{frac {1}{2^{s}}}+{frac {1}{3^{s}}}-{frac {1}{4^{s}}}+cdots }

Этот ряд Дирихле — знакочередующийся ряд, соответствующий ряду Дирихле дзета-функции Римана ζ(s), поэтому эта-функция Дирихле также известна как альтернативная дзета-функция, обозначаемая как ζ*(s). Выполняются следующее равенства:

η ( s ) = ( 1 − 2 1 − s ) ζ ( s ) {displaystyle eta (s)=left(1-2^{1-s} ight)zeta (s)}

η ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x + 1 d x {displaystyle eta (s)={frac {1}{Gamma (s)}}int limits _{0}^{infty }{frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}}

( Γ ( s ) {displaystyle Gamma (s)} — Гамма-функция, это равенство даёт эта-функцию как преобразование Меллина)

Харди доказал следующее функциональное уравнение для Эта-функции:

η ( − s ) = 2 1 − 2 − s − 1 1 − 2 − s π − s − 1 s sin ⁡ ( π s 2 ) Γ ( s ) η ( s + 1 ) . {displaystyle eta (-s)=2{frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}pi ^{-s-1}ssin left({pi s over 2} ight)Gamma (s)eta (s+1).}

Нули

Нули эта-функции включают в себя нули дзета-функции — отрицательные целые числа, точки s такие, что s n = 1 + 2 n π i / ln ⁡ ( 2 ) {displaystyle s_{n}=1+2npi i/ln(2)} , где n — целое число, не равное 0.

Значения в некоторых точках

  η ( 1 ) = ln ⁡ 2 {displaystyle ! eta (1)=ln 2}

η ( 2 ) = π 2 12 {displaystyle eta (2)={pi ^{2} over 12}}

η ( 4 ) = 7 π 4 720 ≈ 0.94703283 {displaystyle eta (4)={{7pi ^{4}} over 720}approx 0.94703283}

η ( 6 ) = 31 π 6 30240 ≈ 0.98555109 {displaystyle eta (6)={{31pi ^{6}} over 30240}approx 0.98555109}

η ( 8 ) = 127 π 8 1209600 ≈ 0.99623300 {displaystyle eta (8)={{127pi ^{8}} over 1209600}approx 0.99623300}

η ( 10 ) = 73 π 10 6842880 ≈ 0.99903951 {displaystyle eta (10)={{73pi ^{10}} over 6842880}approx 0.99903951}

η ( 12 ) = 1414477 π 12 1307674368000 ≈ 0.99975769 {displaystyle eta (12)={{1414477pi ^{12}} over {1307674368000}}approx 0.99975769}

Общая форма для чётных неотрицательных целых чисел:

η ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 B 2 n π 2 n ( 2 2 n − 1 − 1 ) ( 2 n ) ! {displaystyle eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} over {(2n)!}}} B k {displaystyle B_{k}} — числа Бернулли


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   Ваш E-Mail: