Правильный многоугольник
Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы между смежными сторонами.
Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.
Связанные определения
- Центром правильного многоугольника называется его центр масс, совпадающий с центрами его вписанной и описанной окружностей.
- Центральным углом правильного многоугольника называется центральный угол его описанной окружности, опирающийся на его сторону. Величина центрального угла правильного n {displaystyle n} -угольника равна 2 π n {displaystyle {frac {2pi }{n}}} .
Свойства
Координаты
Пусть x C {displaystyle x_{C}} и y C {displaystyle y_{C}} — координаты центра, а R {displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ϕ 0 {displaystyle {phi }_{0}} — угловая координата первой вершины относительно центра, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:
x i = x C + R cos ( ϕ 0 + 2 π i n ) {displaystyle x_{i}=x_{C}+Rcos left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}} ight)} y i = y C + R sin ( ϕ 0 + 2 π i n ) {displaystyle y_{i}=y_{C}+Rsin left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}} ight)}где i {displaystyle i} принимает значения от 0 {displaystyle 0} до n − 1 {displaystyle n-1} .
Размеры
Пусть R {displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен
r = R cos π n {displaystyle r=Rcos {frac {pi }{n}}} ,а длина стороны многоугольника равна
a = 2 R sin π n = 2 r t g π n {displaystyle a=2Rsin {frac {pi }{n}}=2rmathop {mathrm {tg} } ,{frac {pi }{n}}}Площадь
Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {displaystyle n} и длиной стороны a {displaystyle a} составляет:
S = n 4 a 2 ctg π n {displaystyle S={frac {n}{4}} a^{2}mathop {mathrm {} } ,operatorname {ctg} {frac {pi }{n}}} .Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {displaystyle n} , вписанного в окружность радиуса R {displaystyle R} , составляет:
S = n 2 R 2 sin 2 π n {displaystyle S={frac {n}{2}}R^{2}sin {frac {2pi }{n}}} .Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {displaystyle n} , описанного вокруг окружности радиуса r {displaystyle r} , составляет:
S = n r 2 t g π n {displaystyle S=nr^{2}mathop {mathrm {tg} } ,{frac {pi }{n}}}Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {displaystyle n} равна
S = n r a 2 = 1 2 P r {displaystyle S={frac {nra}{2}}={frac {1}{2}}Pr} ,где r {displaystyle r} — радиус вписанной окружности многоугольника, a {displaystyle a} — длина его стороны, а P {displaystyle P} - его периметр.
Периметр
Если нужно вычислить длину стороны a n {displaystyle a_{n}} правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности L {displaystyle L} можно вычислить длину одной стороны многоугольника:
a n {displaystyle a_{n}} — длина стороны правильного n-угольника. a n = sin ( π n ) ⋅ L π {displaystyle a_{n}=sin {Big (}{frac {pi }{n}}{Big )}cdot {frac {L}{pi }}}Периметр P n {displaystyle P_{n}} равен
P n = a n ⋅ n {displaystyle P_{n}=a_{n}cdot n}где n {displaystyle n} — число сторон многоугольника.
Свойства диагоналей правильных многоугольников
- Максимальное количество диагоналей правильного n {displaystyle n} -угольника, пересекающихся в одной точке, не являющейся его вершиной или центром, равно:
- 2 {displaystyle 2} , если n {displaystyle n} нечётно;
- 3 {displaystyle 3} , если n {displaystyle n} чётно, но не делится на 6 {displaystyle 6} ;
- 5 {displaystyle 5} , если n {displaystyle n} делится на 6 {displaystyle 6} , но не делится на 30 {displaystyle 30} ;
- 7 {displaystyle 7} , если n {displaystyle n} делится на 30 {displaystyle 30}
Введём функцию δ m ( n ) {displaystyle delta _{m}(n)} , равную 1 {displaystyle 1} в случае, если n {displaystyle n} делится на m {displaystyle m} , и равную 0 {displaystyle 0} в противном случае. Тогда:
- Количество точек пересечения диагоналей правильного n {displaystyle n} -угольника равно C n 4 + ( − 5 n 3 + 45 n 2 − 70 n + 24 ) / 24 ⋅ δ 2 ( n ) − ( 3 n / 2 ) ⋅ δ 4 ( n ) + + ( − 45 n 2 + 262 n ) / 6 ⋅ δ 6 ( n ) + 42 n ⋅ δ 12 ( n ) + 60 n ⋅ δ 18 ( n ) + + 35 n ⋅ δ 24 ( n ) − 38 n ⋅ δ 30 ( n ) − 82 n ⋅ δ 42 ( n ) − 330 n ⋅ δ 60 ( n ) − − 144 n ⋅ δ 84 ( n ) − 96 n ⋅ δ 90 ( n ) − 144 n ⋅ δ 120 ( n ) − 96 n ⋅ δ 210 ( n ) {displaystyle {egin{array}{l}C_{n}^{4}+left(-5n^{3}+45n^{2}-70n+24 ight)/24cdot delta _{2}(n)-(3n/2)cdot delta _{4}(n)++left(-45n^{2}+262n ight)/6cdot delta _{6}(n)+42ncdot delta _{12}(n)+60ncdot delta _{18}(n)++35ncdot delta _{24}(n)-38ncdot delta _{30}(n)-82ncdot delta _{42}(n)-330ncdot delta _{60}(n)--144ncdot delta _{84}(n)-96ncdot delta _{90}(n)-144ncdot delta _{120}(n)-96ncdot delta _{210}(n)end{array}}}
- Количество частей, на которые правильный n {displaystyle n} -угольник делят его диагонали, равно ( n 4 − 6 n 3 + 23 n 2 − 42 n + 24 ) / 24 + + ( − 5 n 3 + 42 n 2 − 40 n − 48 ) / 48 ⋅ δ 2 ( n ) − ( 3 n / 4 ) ⋅ δ 4 ( n ) + + ( − 53 n 2 + 310 n ) / 12 ⋅ δ 6 ( n ) + ( 49 n / 2 ) ⋅ δ 12 ( n ) + 32 n ⋅ δ 18 ( n ) + + 19 n ⋅ δ 24 ( n ) − 36 n ⋅ δ 30 ( n ) − 50 n ⋅ δ 42 ( n ) − 190 n ⋅ δ 60 ( n ) − − 78 n ⋅ δ 84 ( n ) − 48 n ⋅ δ 90 ( n ) − 78 n ⋅ δ 120 ( n ) − 48 n ⋅ δ 210 ( n ) {displaystyle {egin{array}{l}left(n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-42n+24 ight)/24++left(-5n^{3}+42n^{2}-40n-48 ight)/48cdot delta _{2}(n)-(3n/4)cdot delta _{4}(n)++left(-53n^{2}+310n ight)/12cdot delta _{6}(n)+(49n/2)cdot delta _{12}(n)+32ncdot delta _{18}(n)++19ncdot delta _{24}(n)-36ncdot delta _{30}(n)-50ncdot delta _{42}(n)-190ncdot delta _{60}(n)--78ncdot delta _{84}(n)-48ncdot delta _{90}(n)-78ncdot delta _{120}(n)-48ncdot delta _{210}(n)end{array}}}
Применение
Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.
Древнегреческие математики (Антифонт, Брисон Гераклейский, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.
История
Построение циркулем и линейкой правильного многоугольника с n {displaystyle n} сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n {displaystyle n} равных частей, так как, соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.
Евклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3 , 4 , 5 , 6 , 15 {displaystyle n=3,4,5,6,15} . Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2 m {displaystyle 2^{m}} сторонами (при целом m > 1 {displaystyle m>1} ), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2 m − 1 {displaystyle 2^{m-1}} : пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Евклид указывает и второй критерий построимости: если известно, как строить многоугольники с r {displaystyle r} и s {displaystyle s} сторонами, и r {displaystyle r} и s {displaystyle s} взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r ⋅ s {displaystyle rcdot s} сторонами. Это достигается построением многоугольника с s {displaystyle s} сторонами и многоугольника с r {displaystyle r} сторонами так, чтобы они были вписаны в одну окружность и чтобы одна вершина у них была общей - в таком случае некоторые две вершины этих многоугольников будут являться соседними вершинами r s {displaystyle rs} -угольника. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с 2 m ⋅ 3 {displaystyle 2^{m}cdot 3} , 2 m ⋅ 5 {displaystyle 2^{m}cdot 5} и 2 m ⋅ 3 ⋅ 5 {displaystyle 2^{m}cdot 3cdot 5} сторонами при любом целом неотрицательном m {displaystyle m} .
Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 {displaystyle 3,5,17,257,65537} . Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Гаусс, в частности, первым смог доказать возможность построения правильного 17 {displaystyle 17} -угольника, а под конец жизни завещал выбить его на своём надгробии, однако скульптор отказался выполнять столь сложную работу.
Из результата Гаусса мгновенно следовало, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно 2 k p 1 p 2 ⋯ p s {displaystyle 2^{k}{p_{1}}{p_{2}}cdots {p_{s}}} , где k {displaystyle {k}} — целое неотрицательное число, а p j {displaystyle {p_{j}}} — попарно различные простые числа Ферма. Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году. Итоговая теорема, совмещающая оба результата, называется Теоремой Гаусса-Ванцеля.
Последними результатами в области построения правильных многоугольников являются явные построения 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.
