Матрица Кирхгофа
Матрица Кирхгофа — одно из представлений конечного графа с помощью матрицы. Матрица Кирхгофа представляет дискретный оператор Лапласа для графа. Она используется для подсчета остовных деревьев данного графа (матричная теорема о деревьях), а также в спектральной теории графов.
Определение
Дан простой граф G {displaystyle G} с | V ( G ) | = n {displaystyle |V(G)|=n} вершинами. Тогда матрица Кирхгофа K = ( k i , j ) n × n {displaystyle K=(k_{i,j})_{n imes n}} данного графа будет определяться следующим образом:
k i , j := { deg ( v i ) при i = j , − 1 при ( v i , v j ) ∈ E ( G ) , 0 в противном случае . {displaystyle k_{i,j}:={egin{cases}deg(v_{i})&{ ext{при}} i=j,-1&{ ext{при}} (v_{i},v_{j})in E(G), &{ ext{в противном случае}}.end{cases}}}Также матрицу Кирхгофа можно определить как разность матриц
K = D − A , {displaystyle K=D-A,}где A {displaystyle A} — это матрица смежности данного графа, а D = ( d i , j ) n × n {displaystyle D=(d_{i,j})_{n imes n}} — матрица, на главной диагонали которой степени вершин графа, а остальные элементы — нули:
d i , j := { deg ( v i ) при i = j , 0 в противном случае . {displaystyle d_{i,j}:={egin{cases}deg(v_{i})&{ ext{при}} i=j, &{ ext{в противном случае}}.end{cases}}}Если граф является взвешенным, то определение матрицы Кирхгофа обобщается. В этом случае элементами главной диагонали матрицы Кирхгофа будут суммы весов рёбер, инцидентных соответствующей вершине. Для смежных (связанных) вершин k i , j = − c ( v i , v j ) {displaystyle k_{i,j}=-c(v_{i},v_{j})} , где c ( v i , v j ) {displaystyle c(v_{i},v_{j})} — это вес (проводимость) ребра. Для различных не смежных (не связанных) вершин полагается k i , j = 0 {displaystyle k_{i,j}=0} .
k i , j := { ∑ u ∈ V ( G ) ( v i , u ) ∈ E ( G ) c ( v i , u ) при i = j , − c ( v i , v j ) при ( v i , v j ) ∈ E ( G ) , 0 в противном случае . {displaystyle k_{i,j}:={egin{cases}sum _{egin{smallmatrix}uin V(G)(v_{i},u)in E(G)end{smallmatrix}}^{}c(v_{i},u)&{ ext{при}} i=j,-c(v_{i},v_{j})&{ ext{при}} (v_{i},v_{j})in E(G), &{ ext{в противном случае}}.end{cases}}}Для взвешенного графа матрица смежности A {displaystyle A} записывается с учетом проводимостей ребер, а на главной диагонали матрицы D {displaystyle D} будут суммы проводимостей ребер инцидентных соответствующим вершинам.
d i , j := { ∑ u ∈ V ( G ) ( v i , u ) ∈ E ( G ) c ( v i , u ) if i = j , 0 otherwise . {displaystyle d_{i,j}:={egin{cases}sum _{egin{smallmatrix}uin V(G)(v_{i},u)in E(G)end{smallmatrix}}^{}c(v_{i},u)&{mbox{if}} i=j, &{mbox{otherwise}}.end{cases}}}Пример
Пример матрицы Кирхгофа простого графа.
Свойства
- Сумма элементов каждой строки (столбца) матрицы Кирхгофа равна нулю: ∑ i = 1 | V ( G ) | k i , j = 0 {displaystyle sum _{i=1}^{|V(G)|}k_{i,j}=0} .
- Определитель матрицы Кирхгофа равен нулю: det K = 0 {displaystyle det K=0}
- Матрица Кирхгофа простого графа симметрична: k i , j = k j , i i , j = 1 , … , | V ( G ) | {displaystyle k_{i,j}=k_{j,i}quad i,j=1,ldots ,|V(G)|} .
- Все алгебраические дополнения K ( i j ) {displaystyle K_{(ij)}} симметричной матрицы Кирхгофа равны между собой — постоянная матрицы Кирхгофа. Для простого графа значение данной постоянной совпадает с числом всех возможных остовов графа (см. Матричная теорема о деревьях).
- Если взвешенный граф представляет собой электрическую сеть, где вес каждого ребра соответствует его проводимости, то миноры матрицы Кирхгофа позволяют вычислить резистивное расстояние (resistance distance) R i j {displaystyle R_{ij}} между точками i {displaystyle i} и j {displaystyle j} данной сети: R i j = K ( i , j ) K ( i j ) {displaystyle R_{ij}={frac {K^{(i,j)}}{K_{(ij)}}}} ,
- Существует алгоритм восстановления матрицы Кирхгофа по матрице сопротивлений R i j {displaystyle R_{ij}} .
- 0 является собственным значением матрицы (соответствующий собственный вектор — все единицы), кратность его равна числу связных компонент графа.
- Остальные собственные значения положительны. Второе по малости значение Фидлер назвал индексом связности графа, соответствующий собственный вектор — вектор Фиддлера.
