Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

ARIMA


ARIMA (англ. autoregressive integrated moving average, иногда модель Бокса — Дженкинса, методология Бокса — Дженкинса) — интегрированная модель авторегрессии — скользящего среднего — модель и методология анализа временных рядов. Является расширением моделей ARMA для нестационарных временных рядов, которые можно сделать стационарными взятием разностей некоторого порядка от исходного временного ряда (так называемые интегрированные или разностно-стационарные временные ряды). Модель A R I M A ( p , d , q ) {displaystyle ARIMA(p,d,q)} означает, что разности временного ряда порядка d {displaystyle d} подчиняются модели A R M A ( p , q ) {displaystyle ARMA(p,q)} .

Формальное определение модели

Модель A R I M A ( p , d , q ) {displaystyle ARIMA(p,d,q)} для нестационарного временного ряда X t {displaystyle X_{t}} имеет вид:

△ d X t = c + ∑ i = 1 p a i △ d X t − i + ∑ j = 1 q b j ε t − j + ε t {displaystyle riangle ^{d}X_{t}=c+sum _{i=1}^{p}a_{i} riangle ^{d}X_{t-i}+sum _{j=1}^{q}b_{j}varepsilon _{t-j}+varepsilon _{t}}

где ε t {displaystyle varepsilon _{t}} — стационарный временной ряд;

c , a i , b j {displaystyle c,a_{i},b_{j}} — параметры модели. △ d {displaystyle riangle ^{d}} — оператор разности временного ряда порядка d (последовательное взятие d раз разностей первого порядка — сначала от временного ряда, затем от полученных разностей первого порядка, затем от второго порядка и т. д.)

Также данная модель интерпретируется как A R M A ( p + d , q ) {displaystyle ARMA(p+d,q)} - модель с d {displaystyle d} единичными корнями. При d = 0 {displaystyle d=0} имеем обычные A R M A {displaystyle ARMA} -модели.

Операторное представление

С помощью лагового оператора L :   L x t = x t − 1 {displaystyle L:~Lx_{t}=x_{t-1}} данные модели можно записать следующим образом:

( 1 − L ) d X t = c + ( ∑ i = 1 p a i L i ) ( 1 − L ) d X t + ( 1 + ∑ j = 1 q b j L j ) ε t {displaystyle (1-L)^{d}X_{t}=c+(sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})(1-L)^{d}X_{t}+(1+sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j})varepsilon _{t}} ,

или сокращённо:

a ( L ) ( 1 − L ) d X t = c + b ( L ) ε t {displaystyle a(L)(1-L)^{d}X_{t}=c+b(L)varepsilon _{t}} .

где a ( L ) = 1 − ∑ i = 1 p a i L i {displaystyle a(L)=1-sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i}}

b ( L ) = 1 + ∑ j = 1 q b j L j {displaystyle b(L)=1+sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j}}

Пример

Простейшим примером ARIMA-модели является известная модель случайного блуждания:

x t = x t − 1 + ε t ⇒ △ x t = ( 1 − L ) x t = ε t {displaystyle x_{t}=x_{t-1}+varepsilon _{t}Rightarrow riangle x_{t}=(1-L)x_{t}=varepsilon _{t}}

Следовательно это модель A R I M A ( 0 , 1 , 0 ) {displaystyle ARIMA(0,1,0)} .

Интегрированные временные ряды

ARIMA-модели позволяют моделировать интегрированные или разностно-стационарные временные ряды (DS-ряды, diference stationary).

Временной X t {displaystyle X_{t}} ряд называется интегрированным порядка k {displaystyle k} (обычно пишут X t ∼ I ( k ) {displaystyle X_{t}sim I(k)} ), если разности ряда порядка k {displaystyle k} , то есть △ k x t {displaystyle riangle ^{k}x_{t}} являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются стационарными относительно некоторого тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). В частности I ( 0 ) {displaystyle I(0)} — это стационарный процесс.

Порядок интегрированности временного ряда и есть порядок d {displaystyle d} модели A R I M A ( p , d , q ) {displaystyle ARIMA(p,d,q)} .

Методология ARIMA (Бокса — Дженкинса)

Подход ARIMA к временным рядам заключается в том, что в первую очередь оценивается стационарность ряда. Различными тестами выявляются наличие единичных корней и порядок интегрированности временного ряда (обычно ограничиваются первым или вторым порядком). Далее при необходимости (если порядок интегрированности больше нуля) ряд преобразуется взятием разности соответствующего порядка и уже для преобразованной модели строится некоторая ARMA-модель, поскольку предполагается, что полученный процесс является стационарным, в отличие от исходного нестационарного процесса (разностно-стационарного или интегрированного процесса порядка d {displaystyle d} ).

Модели ARFIMA

Теоретически порядок интегрированности d {displaystyle d} временного ряда может быть не целой величиной, а дробной. В этом случае говорят о дробно-интегрированных моделях авторегрессии — скользящего среднего (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Для понимания сущности дробного интегрирования необходимо рассмотреть разложение оператора взятия d {displaystyle d} -ой разности в степенной ряд по степеням лагового оператора для дробных d {displaystyle d} (разложение в ряд Тейлора):

△ d = ( 1 − L ) d = ∑ k = 0 ∞ ∏ j = 0 k − 1 ( d − j ) ( − 1 ) k k ! L k {displaystyle riangle ^{d}=(1-L)^{d}=sum _{k=0}^{infty }prod _{j=0}^{k-1}(d-j){frac {(-1)^{k}}{k!}}L^{k}} .
(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   

Ваш E-Mail: