Формула монотонности

Формула монотонности — классическая теорема о минимальных поверхностях. Она утверждает в частности, что площадь пересечения минимальной поверхности без границы с шаром с центром на поверхности не может быть меньше площади круга того же радиуса.

Формулировка

Предположим M {displaystyle M} есть k {displaystyle k} -мерная минимальная поверхность в Евклидовом пространстве и p ∈ M {displaystyle pin M} . Обозначим через R {displaystyle R} минимальное расстояние от p {displaystyle p} до границы M {displaystyle M} .

Тогда функция

r ↦ S ( M ∩ B r ( p ) ) r m {displaystyle rmapsto {frac {mathrm {S} (Mcap B_{r}(p))}{r^{m}}}}

монотонно возрастает в интервале [ 0 , R ] {displaystyle [0,R]} ; здесь S {displaystyle mathrm {S} } обозначает k {displaystyle k} -мерную площадь и B r ( p ) {displaystyle B_{r}(p)} — шар радиуса r {displaystyle r} с центром в p {displaystyle p} .

Следствия

• Для M {displaystyle M} , p {displaystyle p} и R {displaystyle R} как в формулировке выполняется неравенство S ( M ∩ B r ( p ) ) ≥ ω k ⋅ r m , {displaystyle mathrm {S} (Mcap B_{r}(p))geq omega _{k}cdot r^{m},}

при r ≤ R {displaystyle rleq R} ; здесь ω k {displaystyle omega _{k}} обозначает объём единичного шара в k {displaystyle k} -мерном евклидовом пространстве.

• Более того, если p {displaystyle p} является точкой самопересечения то

S ( M ∩ B r ( p ) ) ≥ 2 ⋅ ω k ⋅ r m , {displaystyle mathrm {S} (Mcap B_{r}(p))geq 2cdot omega _{k}cdot r^{m},} при r ≤ R {displaystyle rleq R} .

Применения

• Эколм и Уайт применили формулу монотонности в доказательстве того, что минимальная поверхность натянутая на контур с вариацией поворота 4π или меньше является вложенной.
• Бренде и Хунг применили обобщённую формулу монотонности для оценки площади пересечения минимальной поверхности с шаром центр которого находится вне поверхности.