Плотное множество

Плотное множество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, A {displaystyle A} плотно в X {displaystyle X} , если всякая окрестность любой точки x {displaystyle x} из X {displaystyle X} содержит элемент из A {displaystyle A} .

Определения

• Пусть даны топологическое пространство ( X , T ) {displaystyle (X,{mathcal {T}})} и два подмножества A , B ⊂ X . {displaystyle A,Bsubset X.} Тогда множество A {displaystyle A} называется плотным во множестве B {displaystyle B} , если любая окрестность любой точки B {displaystyle B} содержит хотя бы одну точку из A {displaystyle A} , то есть

∀ x ∈ B ∀ U ∈ T ( x ∈ U ) ⇒ ( U ∩ A ≠ ∅ ) . {displaystyle forall xin B;forall Uin {mathcal {T}}quad {igl (}xin U{igr )}Rightarrow {igl (}Ucap A eq emptyset {igr )}.}

• Множество A {displaystyle A} называется всюду плотным, если оно плотно в X . {displaystyle X.}

Замечание

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:

• Множество A {displaystyle A} плотно в B {displaystyle B} тогда и только тогда, когда замыкание A {displaystyle A} содержит B {displaystyle B} , то есть A ¯ ⊃ B {displaystyle {ar {A}}supset B} . В частности, A {displaystyle A} всюду плотно, если A ¯ = B {displaystyle {ar {A}}=B} .
• Множество A {displaystyle A} плотно в B {displaystyle B} тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к A {displaystyle A} не пересекается с B {displaystyle B} , то есть ( A ∁ ) 0 ∩ B = ∅ {displaystyle left(A^{complement } ight)^{0}cap B=emptyset } . В частности, A {displaystyle A} всюду плотно, если ( A ∁ ) 0 = ∅ {displaystyle left(A^{complement } ight)^{0}=emptyset } .

Примеры

• Множество рациональных чисел Q {displaystyle mathbb {Q} } плотно в пространстве вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } .