Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Плотное множество

Дата: 13-11-2020, 00:25 » Раздел: Статьи  » 

Плотное множество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, A {displaystyle A} плотно в X {displaystyle X} , если всякая окрестность любой точки x {displaystyle x} из X {displaystyle X} содержит элемент из A {displaystyle A} .

Определения

  • Пусть даны топологическое пространство ( X , T ) {displaystyle (X,{mathcal {T}})} и два подмножества A , B ⊂ X . {displaystyle A,Bsubset X.} Тогда множество A {displaystyle A} называется плотным во множестве B {displaystyle B} , если любая окрестность любой точки B {displaystyle B} содержит хотя бы одну точку из A {displaystyle A} , то есть
∀ x ∈ B ∀ U ∈ T ( x ∈ U ) ⇒ ( U ∩ A ≠ ∅ ) . {displaystyle forall xin B;forall Uin {mathcal {T}}quad {igl (}xin U{igr )}Rightarrow {igl (}Ucap A eq emptyset {igr )}.}
  • Множество A {displaystyle A} называется всюду плотным, если оно плотно в X . {displaystyle X.}

Замечание

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:

  • Множество A {displaystyle A} плотно в B {displaystyle B} тогда и только тогда, когда замыкание A {displaystyle A} содержит B {displaystyle B} , то есть A ¯ ⊃ B {displaystyle {ar {A}}supset B} . В частности, A {displaystyle A} всюду плотно, если A ¯ = B {displaystyle {ar {A}}=B} .
  • Множество A {displaystyle A} плотно в B {displaystyle B} тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к A {displaystyle A} не пересекается с B {displaystyle B} , то есть ( A ∁ ) 0 ∩ B = ∅ {displaystyle left(A^{complement } ight)^{0}cap B=emptyset } . В частности, A {displaystyle A} всюду плотно, если ( A ∁ ) 0 = ∅ {displaystyle left(A^{complement } ight)^{0}=emptyset } .

Примеры

  • Множество рациональных чисел Q {displaystyle mathbb {Q} } плотно в пространстве вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } .

(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   Ваш E-Mail: