Многочлены Фабера

Многочлены Фабера — обобщение многочленов Чебышёва.

Определение

Пусть K {displaystyle K} — ограниченный континуум — ограниченное непустое связное множество, содержащее более одной точки. И g ∞ {displaystyle g_{infty }} — это та из смежных с K {displaystyle K} областей, к которой принадлежит z = ∞ {displaystyle z=infty } . g ∞ ≡ D {displaystyle g_{infty }equiv D} — односвязная область расширенной плоскости, граница которой Γ ∞ {displaystyle Gamma _{infty }} является частью континуума K {displaystyle K} .

Область g ∞ {displaystyle g_{infty }} конформно отображается на внешность круга с центром в точке w = 0 {displaystyle w=0} посредством функции w = Φ ( z ) {displaystyle w=Phi (z)} так, что выполняются два условия:

Φ ( ∞ ) = ∞ {displaystyle Phi (infty )=infty } lim z → ∞ Φ ( z ) / z = γ > 0 {displaystyle lim _{z o infty }Phi (z)/z=gamma >0}

которыми функция Φ ( z ) {displaystyle Phi (z)} определяется единственным образом. Из этих условий следует, что функция w = Φ ( z ) {displaystyle w=Phi (z)} , являясь аналитической в области D {displaystyle D} , кроме точки z = ∞ {displaystyle z=infty } , имеет в точке z = ∞ {displaystyle z=infty } простой полюс, и поэтому её лорановское разложение в некоторой окрестности точки z = ∞ {displaystyle z=infty } имеет вид

Φ ( z ) = γ z + γ 0 + γ 1 / z + γ 2 / z 2 + … . {displaystyle Phi (z)=gamma z+gamma _{0}+gamma _{1}/z+gamma _{2}/z^{2}+ldots .}

Многочленом Фабера n-го порядка, порождённым континуумом K {displaystyle K} , называется многочлен

Φ n ( z ) = γ n z n + a n − 1 ( n ) z n − 1 + a n − 2 ( n ) z n − 2 + … + a 1 ( n ) z + a 0 ( n ) {displaystyle Phi _{n}(z)=gamma ^{n}z^{n}+a_{n-1}^{(n)}z^{n-1}+a_{n-2}^{(n)}z^{n-2}+ldots +a_{1}^{(n)}z+a_{0}^{(n)}}

представляющий собой члены с неотрицательными степенями z {displaystyle z} в лорановском разложении функции Φ ( z ) n {displaystyle Phi (z)^{n}} в окрестности бесконечно удаленной точки.

Свойства

• Многочлены Чебышёва являются частным случаем многочленов Фабера при K = [ − 1 ; 1 ] {displaystyle K=[-1;1]} .