Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Числа Бернулли

Дата: 11-11-2020, 18:53 » Раздел: Статьи  » 

Числа Бернулли — последовательность рациональных чисел B 0 , B 1 , B 2 , … {displaystyle B_{0},B_{1},B_{2},dots } , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

∑ n = 0 N − 1 n k = 1 k + 1 ∑ s = 0 k ( k + 1 s ) B s N k + 1 − s , {displaystyle sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={frac {1}{k+1}}sum _{s=0}^{k}{inom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s},}

где ( k + 1 s ) = ( k + 1 ) ! s ! ⋅ ( k + 1 − s ) ! {displaystyle { binom {k+1}{s}}={ frac {(k+1)!}{s!cdot (k+1-s)!}}} — биномиальный коэффициент.

Некоторые авторы дают отличные от этого определения, но в большинстве современных учебников даётся определение как выше. При этом B 1 = − 1 2 {displaystyle B_{1}=-{ frac {1}{2}}} . Часть авторов (например, трёхтомник Фихтенгольца) использует определение, которое отличается от этого только знаком B k {displaystyle B_{k}} . Кроме того, так как за исключением B 1 {displaystyle B_{1}} все числа Бернулли с нечётным номером равны 0, некоторые авторы используют обозначение « B n {displaystyle B_{n}} » для B 2 n {displaystyle B_{2n}} или | B 2 n | {displaystyle |B_{2n}|} .

Рекуррентная формула

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

B 0 = 1 , {displaystyle B_{0}=1,} B n = − 1 n + 1 ∑ k = 1 n ( n + 1 k + 1 ) B n − k , n ∈ N . {displaystyle B_{n}={frac {-1}{n+1}}sum _{k=1}^{n}{inom {n+1}{k+1}}B_{n-k},quad nin mathbb {N} .}

Свойства

  • Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме B 1 {displaystyle B_{1}} , равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
  • Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли B n ( x ) {displaystyle B_{n}(x)} при x = 0 {displaystyle x=0} :
B n = B n ( 0 ) . {displaystyle B_{n}=B_{n}(0).}
  • Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
    • Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли: x e x − 1 = ∑ n = 0 ∞ B n n ! x n , | x | < 2 π , {displaystyle {frac {x}{e^{x}-1}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {B_{n}}{n!}}x^{n},|x|<2pi ,} x ctg ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n B 2 n 2 2 n ( 2 n ) ! x 2 n , | x | < π , {displaystyle xoperatorname {ctg} x=sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}B_{2n}{frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<pi ,} tg ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ | B 2 n | 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 , | x | < π / 2. {displaystyle operatorname {tg} x=sum _{n=1}^{infty }|B_{2n}|{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<pi /2.}
  • Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при чётных s = 2k: B 2 k = 2 ( − 1 ) k + 1 ζ ( 2 k ) ( 2 k ) ! ( 2 π ) 2 k . {displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{frac {zeta (2k),(2k)!}{(2pi )^{2k}}}.}
А также B n = − n ζ ( 1 − n ) {displaystyle B_{n}=-nzeta (1-n)} для всех натуральных n > 1.
  • ∫ 0 ∞ x 2 n − 1 d x e 2 π x − 1 = 1 4 n | B 2 n | , n = 1 , 2 , … . {displaystyle int limits _{0}^{infty }{frac {x^{2n-1},dx}{e^{2pi x}-1}}={frac {1}{4n}}|B_{2n}|,quad n=1,2,dots .}
  • Порядок роста чисел Бернулли даётся следующей асимптотической формулой: | B n | ∼ n ! ( 2 π ) n {displaystyle |B_{n}|sim {frac {n!}{(2pi )^{n}}}} при чётных n → ∞ {displaystyle n o infty } .

(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   Ваш E-Mail: