Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Теорема Шура — Зассенхауса

Дата: 11-11-2020, 13:39 » Раздел: Статьи  » 

Теорема Шура — Зассенхауса — это теорема теории групп, которая утверждает, что если G является конечной группой, а N является нормальной подгруппой, порядок которой взаимно прост с порядком факторгруппы G/N, то G является полупрямым произведением (или расщепляемым расширением) подгруппы N и факторгруппы G/N.

Альтернативная формулировка теоремы. Любая нормальная подгруппа Холла N конечной группы G имеет дополнение подгруппы в группе G. Более того, если либо N, либо G/N разрешима, то теорема Шура — Зассенхауса также утверждает, что все дополнения N в G сопряжены. Предположение, что либо N, либо G/N разрешима, может быть опущено, так как оно выполняется всегда, но все известные доказательства этого требуют применения куда более сложной теоремы Фейта — Томпсона.

Теорема Шура — Зассенхауса, по меньшей мере частично, отвечает на вопрос: «В композиционном ряду как мы можем классифицировать группы с определённым множеством композиционных факторов?» Другая часть, в которой композиционные факторы не имеют взаимно простого порядка, разбирается в теории расширений групп.

История

Теорему Шура — Зассенхауса выдвинул Ганс Зассенхаус. Теорема 25, которую он приписывает Исаю Шуру, доказывает существование дополнения подгруппы, а теорема 27 доказывает, что все дополнения смежны при предположении, что N или G/N разрешима. Нелегко найти явное утверждение существования дополнения в опубликованных работах Шура, хотя из результатов Шура о мультипликаторах Шура вытекает существование дополнения в специальном случае, когда нормальная подгруппа является центром. Зассенхаус указал на то, что теорема Шура — Зассенхауса для неразрешимых групп была бы верна, если бы все группы нечётного порядка были разрешимы, что позднее доказали Фейт и Томпсон. Эрнст Витт показал, что это следовало бы также из гипотезы Шрайера, но гипотеза Шрайера была доказана с использованием классификации конечных простых групп, которая существенно сложнее теоремы Фейт-Томпсона.

Примеры

Если мы не накладываем условие взаимной простоты, теорема становится неверной. Рассмотрим, например, циклическую группу C 4 {displaystyle C_{4}} и её нормальную подгруппу C 2 {displaystyle C_{2}} . Тогда, если бы C 4 / C 2 {displaystyle C_{4}/C_{2}} была полупрямым произведением C 2 {displaystyle C_{2}} и C 4 / C 2 ≅ C 2 {displaystyle C_{4}/C_{2}cong C_{2}} , то C 4 {displaystyle C_{4}} должна была бы содержать два элемента порядка 2, но она содержит только один элемент. Другой способ показать невозможность расщепления C 4 {displaystyle C_{4}} (то есть выражения группы в виде полупрямого произведения), это наблюдение, что автоморфизмы группы C 2 {displaystyle C_{2}} являются тривиальной группой, так что единственно возможное [полу]прямое произведение группы C 2 {displaystyle C_{2}} на себя, это прямое произведение (которое даёт четверную группу Клейна, группу, которая не изоморфна C 4 {displaystyle C_{4}} ).

Пример случая, когда теорема Шура — Зассенхауса применима, это симметрическая группа из 3 символов, S 3 {displaystyle S_{3}} , которая имеет нормальную подгруппу порядка 3 (изоморфную C 3 {displaystyle C_{3}} ), которая, в свою очередь, имеет индекс 2 в S 3 {displaystyle S_{3}} (что согласуется с теоремой Лагранжа), так что S 3 / C 3 ≅ C 2 {displaystyle S_{3}/C_{3}cong C_{2}} . Поскольку 2 и 3 взаимно просты, теорема Шура — Зассенхауса применима и S 3 ≅ C 3 ⋊ C 2 {displaystyle S_{3}cong C_{3} times C_{2}} . Заметим, что группа автоморфизмов группы C 3 {displaystyle C_{3}} равна C 2 {displaystyle C_{2}} и автоморфизм группы C 3 {displaystyle C_{3}} , используемый в полупрямом произведении, которое даёт S 3 {displaystyle S_{3}} , является нетривиальным автоморфизмом, который переставляет два неединичных элемента группы C 3 {displaystyle C_{3}} . Более того, три подгруппы порядка 2 в S 3 {displaystyle S_{3}} (любая из которых может выступать как дополнение C 3 {displaystyle C_{3}} в S 3 {displaystyle S_{3}} ) смежны.

Вывод о нетривиальности (дополнительной) смежности можно проиллюстрировать на четверной группе Клейна V {displaystyle V} как ложный пример. Любая из трёх собственных подгрупп группы V {displaystyle V} (все имеют порядок 2) нормальна в V {displaystyle V} . Фиксируя одну из этих подгрупп, любая из двух оставшихся (собственных) подгрупп дополняют её в V {displaystyle V} , но ни одна из этих трёх подгрупп группы V {displaystyle V} не смежна другой, поскольку группа V {displaystyle V} абелева.

Группа кватернионов имеет нормальные подгруппы порядка 4 и 2, но не является [полу]прямым произведением. Статьи Шура в начале 20-го века ввели понятие центрального расширения для примеров, таких как C 4 {displaystyle C_{4}} и кватернионов.

Доказательство

Существование дополнения нормальной подгруппы Холла H конечной группы G может быть доказано следующими шагами:

  • По индукции по порядку группы G мы можем предположить, что это верно для всех групп меньшего размера.
  • Если подгруппа H абелева, то существование дополнения следует из факта, что группа когомологий H2(G/H,H) исчезает (так как H и G/H имеют взаимно простые порядки) и факта, что смежность всех дополнений следует из исчезновения H1(G/H,H).
  • Если подгруппа H разрешима, она имеет нетривиальную абелеву подгруппу A, которая является характеристикой в H, а потому нормальной в G. Применение Шура — Зассенхауса к G/A сокращает доказательство случая, когда H=A абелева, что сделано на предыдущем шаге.
  • Если нормализатор N=NG(P) любой p-силовской подгруппы P подгруппы H равен G, то H нильпотентна, и, в частности, разрешима, так что теорема вытекает из предыдущего шага.
  • Если нормализатор N=NG(P) некоторой p-силовской подгруппы P подгруппы H меньше, чем G, то по индукции теорема Шура — Зассенхауса выполняется для N и дополнение NH в N является дополнением для H в G, поскольку G=NH.

  • (голосов:0)

    Пожожие новости
    Комментарии

    Ваше Имя:   Ваш E-Mail: