Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Короткая арифметика Гильберта

Дата: 11-11-2020, 11:51 » Раздел: Статьи  » 

Короткая арифметика Гильберта — пример полугруппы, иллюстрирующий тот факт, что для доказательства основной теоремы арифметики необходимо использовать свойства не только умножения, но и сложения. Этот пример принадлежит Давиду Гильберту.

Определение

Короткая арифметика Гильберта представляет собой множество чисел вида 4 n + 1 {displaystyle 4n+1} , где n {displaystyle n} пробегает все натуральные числа:

1 , 5 , 9 , 13 , 17 , … {displaystyle 1,5,9,13,17,dots }

Иногда их называют числа Гильберта. На этом множестве может быть корректно определена стандартная операция умножения, поскольку произведение двух чисел из множества дает вновь число из этого множества: ( 4 a + 1 ) ( 4 b + 1 ) = 4 ( a b + a + b ) + 1 {displaystyle (4a+1)(4b+1)=4(ab+a+b)+1} . Таким образом, короткая арифметика Гильберта является полугруппой.

Простые числа Гильберта

В арифметике Гильберта можно определить простые числа (простые числа Гильберта) стандартным образом: число Гильберта называется простым Гильберта, если оно не делится на меньшее число Гильберта (отличное от 1 {displaystyle 1} ). Последовательность простых Гильберта начинается так:

5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 29 , 33 , 37 , 41 , 49 , … {displaystyle 5,9,13,17,21,29,33,37,41,49,dots }

Простое число Гильберта не обязательно является простым в обычном смысле. Например, 21 {displaystyle 21} является составным в натуральных числах, поскольку 21 = 3 ⋅ 7 {displaystyle 21=3cdot 7} , однако оно является простым Гильберта, поскольку ни 3 {displaystyle 3} , ни 7 {displaystyle 7} (то есть все делители числа 21 {displaystyle 21} , отличные от 1 {displaystyle 1} и самого числа) не являются числами Гильберта. Из свойств умножения по модулю 4 {displaystyle 4} следует, что простое Гильберта является либо простым числом вида 4 n + 1 {displaystyle 4n+1} (такие числа называются простыми числами Пифагора), либо полупростым вида ( 4 a + 3 ) ( 4 b + 3 ) {displaystyle (4a+3)(4b+3)} .

Невыполняемость основной теоремы арифметики

Любое число Гильберта может быть разложено на произведение простых чисел Гильберта, однако для короткой арифметики Гильберта не выполняется основная теорема арифметики: такое разложение может быть не единственным. Например, 441 {displaystyle 441} является числом Гильберта, но разлагается на простых чисел Гильберта двумя способами:

441 = 9 ⋅ 49 = 21 ⋅ 21 {displaystyle 441=9cdot 49=21cdot 21} .

где числа 9 {displaystyle 9} , 49 {displaystyle 49} и 21 {displaystyle 21} являются простыми Гильберта.


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   Ваш E-Mail: