Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Алгебра Темперли — Либа

Дата: 11-11-2020, 00:14 » Раздел: Статьи  » 

Алгебра Темперли — Либа — алгебра, при помощи которой строятся некоторые трансфер-матрицы. Открыта Невиллом Темперли и Эллиотом Либом. Алгебра применяется в статистической механике, в теории интегрируемых моделей, имеет отношение к теории узлов и группам кос, квантовым группам и подфакторам алгебр фон Неймана.

Определение

Пусть R {displaystyle R} — коммутативное кольцо (чаще всего — поле вещественных чисел), в котором зафиксирован элемент δ ∈ R {displaystyle delta in R} . Алгеброй Темперли — Либа T L n ( δ ) {displaystyle TL_{n}(delta )} называется R {displaystyle R} -алгебра образованная генераторами U 1 , U 2 , … , U n − 1 {displaystyle U_{1},U_{2},ldots ,U_{n-1}} , подчиняющимися соотношениям Джонса:

  • U i 2 = δ U i {displaystyle U_{i}^{2}=delta U_{i}} при 1 ≤ i ≤ n − 1 {displaystyle 1leq ileq n-1}
  • U i U i + 1 U i = U i {displaystyle U_{i}U_{i+1}U_{i}=U_{i}} при 1 ≤ i ≤ n − 2 {displaystyle 1leq ileq n-2}
  • U i U i − 1 U i = U i {displaystyle U_{i}U_{i-1}U_{i}=U_{i}} при 2 ≤ i ≤ n − 1 {displaystyle 2leq ileq n-1}
  • U i U j = U j U i {displaystyle U_{i}U_{j}=U_{j}U_{i}} при 1 ≤ i , j ≤ n − 1 {displaystyle 1leq i,jleq n-1} , таких что | i − j | ≠ 1 {displaystyle |i-j| eq 1}

T L n ( δ ) {displaystyle TL_{n}(delta )} можно представить как векторное пространство, с базисными векторами, каждый из которых представляет собой диаграмму в виде квадрата, на двух противоположных сторонах которого находятся по n {displaystyle n} точек. Точки образуют n пар, каждая пара соединена кривой, и никакие две кривые не пересекаются. Пять базисных векторов T L 3 ( δ ) {displaystyle TL_{3}(delta )} выглядят следующим образом:

.

Умножение двух базисных элементов происходит соединением двух квадратов стык-в-стык, после каждый образовавшийся цикл даёт множитель δ. Например,

× = = δ .

Единичным элементом является диаграмма с n горизонтальными прямыми, а генератор U i {displaystyle U_{i}} — диаграмма, в которой i-ая вершина соединена с i+1-ой, 2n − i + 1-ая точка — с 2n − i-ой точкой, а все остальные точки соединены с противоположными себе. К примеру, генераторами T L 5 ( δ ) {displaystyle TL_{5}(delta )} являются:

Слева направо: тождественный элемент (единица) и генераторы U1, U2, U3, U4.

Соотношения Джонса можно изобразить графически:

= δ

=

=


(голосов:0)

Пожожие новости
Комментарии

Ваше Имя:   Ваш E-Mail: