Форум Статьи Контакты
Строительство — возведение зданий и сооружений, а также их капитальный и текущий ремонт, реконструкция, реставрация и реновация.

Поле (алгебра)

Дата: 10-11-2020, 08:56 » Раздел: Статьи  » 

Поле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления (кроме деления на ноль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.

Поле — основной предмет изучения теории полей. Рациональные, вещественные, комплексные числа, вычеты по модулю заданного простого числа образуют поля.

История

В рамках понятия о поле неявно работал ещё Галуа в 1830 году, с использованием идеи алгебраического расширения поля ему удалось найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи теории Галуа была доказана невозможность решения таких классических задач, как квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.

Явное определение понятия поля относят к Дедекинду (1871 год), который использовал немецкий термин Körper (тело). Термин «поле» (англ. field) ввёл в 1893 году американский математик Элиаким Гастингс Мур.

Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используется в линейной алгебре как структура, универсализирующая понятие скаляра, и основная структура линейной алгебры — линейное пространство — определяется как конструкция над произвольным полем. Также теория полей в значительной степени составляет инструментальную основу таких разделов, как алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел.

Формальные определения

Алгебра над множеством F {displaystyle F} , образующая коммутативную группу по сложению + {displaystyle +} над F {displaystyle F} с нейтральным элементом 0 {displaystyle {oldsymbol {0}}} и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами F ∖ { 0 } {displaystyle Fsetminus {{oldsymbol {0}}}} , при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения.

Если раскрыть указанное выше определение, то множество F {displaystyle F} с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения + {displaystyle +} и умножения ∗ {displaystyle *} ( + : F × F → F , ∗ : F × F → F {displaystyle +colon F imes F o F,quad *colon F imes F o F} , т. е. ∀ a , b ∈ F ( a + b ) ∈ F , a ∗ b ∈ F {displaystyle forall a,bin Fquad (a+b)in F,;a*bin F} ) называется полем ⟨ F , + , ∗ ⟩ {displaystyle leftlangle F,+,* ight angle } , если выполнены следующие аксиомы:

  • Коммутативность сложения: ∀ a , b ∈ F a + b = b + a {displaystyle forall a,bin Fquad a+b=b+a} .
  • Ассоциативность сложения: ∀ a , b , c ∈ F ( a + b ) + c = a + ( b + c ) {displaystyle forall a,b,cin Fquad (a+b)+c=a+(b+c)} .
  • Существование нулевого элемента: ∃ 0 ∈ F : ∀ a ∈ F a + 0 = a {displaystyle exists {oldsymbol {0}}in Fcolon forall ain Fquad a+{oldsymbol {0}}=a} .
  • Существование противоположного элемента: ∀ a ∈ F ∃ ( − a ) ∈ F : a + ( − a ) = 0 {displaystyle forall ain F;exists (-a)in Fcolon a+(-a)={oldsymbol {0}}} .
  • Коммутативность умножения: ∀ a , b ∈ F a ∗ b = b ∗ a {displaystyle forall a,bin Fquad a*b=b*a} .
  • Ассоциативность умножения: ∀ a , b , c ∈ F ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) {displaystyle forall a,b,cin Fquad (a*b)*c=a*(b*c)} .
  • Существование единичного элемента: ∃ e ∈ F ∖ { 0 } : ∀ a ∈ F a ∗ e = a {displaystyle exists ein Fsetminus {{oldsymbol {0}}}colon forall ain Fquad a*e=a} .
  • Существование обратного элемента для ненулевых элементов: ( ∀ a ∈ F : a ≠ 0 ) ∃ a − 1 ∈ F : a ∗ a − 1 = e {displaystyle (forall ain Fcolon a eq {oldsymbol {0}});exists a^{-1}in Fcolon a*a^{-1}=e} .
  • Дистрибутивность умножения относительно сложения: ∀ a , b , c ∈ F ( a + b ) ∗ c = ( a ∗ c ) + ( b ∗ c ) {displaystyle forall a,b,cin Fquad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)} .
  • Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению + {displaystyle +} над F {displaystyle F} , аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению ∗ {displaystyle *} над F ∖ { 0 } {displaystyle Fsetminus {{oldsymbol {0}}}} , а аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

    Аксиомы 1-7 и 9 — это определение коммутативного кольца с единицей.

    Исключив аксиому коммутативности умножения, получим определение тела.

    В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как коммутативное кольцо, являющееся телом. Иерархия структур следующая:

    Коммутативные кольцаОбласти целостностиФакториальные кольцаОбласти главных идеаловЕвклидовы кольцаПоля.

    Связанные определения

    Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: подполем называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, расширением — поле, содержащее данное в качестве подполя.

    Гомоморфизм полей вводится также естественным образом: как отображение f {displaystyle f} , такое что f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) {displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)} , f ( a b ) = f ( a ) ⋅ f ( b ) {displaystyle f(ab)=f(a)cdot f(b)} и f ( 1 ) = 1 {displaystyle f(1)=1} . В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как f ( a ) ⋅ f ( a − 1 ) = f ( a ⋅ a − 1 ) = 1 {displaystyle f(a)cdot f(a^{-1})=f(acdot a^{-1})=1} , следовательно, ядро любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является вложением.

    Характеристика поля — то же, что и характеристика кольца, наименьшее положительное целое число n {displaystyle n} такое, что сумма n {displaystyle n} копий единицы равна нулю:

    1 + ⋯ + 1 ⏟ n = n 1 = 0. {displaystyle underbrace {1+dots +1} _{n}=n1=0.}

    Если такого числа не существует, то характеристика считается равной нулю. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия простого поля — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.

    Поля Галуа — поля, состоящие из конечного числа элементов. Названы в честь их первого исследователя Эвариста Галуа.

    Свойства

    • Характеристика поля всегда 0 {displaystyle 0} или простое число.
      • Поле характеристики 0 {displaystyle 0} содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел Q {displaystyle mathbb {Q} } .
      • Поле простой характеристики p {displaystyle p} содержит подполе, изоморфное полю вычетов Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} .
    • Количество элементов в конечном поле всегда равно p n {displaystyle p^{n}} — степени простого числа.
      • При этом для любого числа вида p n {displaystyle p^{n}} существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из p n {displaystyle p^{n}} элементов, обычно обозначаемое F p n {displaystyle mathbb {F} _{p^{n}}} .
    • В поле нет делителей нуля.
    • Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} изоморфна Z q − 1 {displaystyle mathbb {Z} _{q-1}} .
    • С точки зрения алгебраической геометрии поля — это точки, потому что их спектр состоит ровно из одной точки — идеала {0}. Действительно, поле не содержит других собственных идеалов: если к идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, коммутативное кольцо, не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент a. Тогда главный идеал, порождённый a, не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором максимальном (а следовательно, простом) идеале; а значит, спектр этого кольца содержит как минимум две точки.

    Примеры полей

    Поля характеристики, равной 0

    • Q {displaystyle mathbb {Q} } — рациональные числа,
    • R {displaystyle mathbb {R} } — вещественные числа,
    • C {displaystyle mathbb {C} } — комплексные числа,
    • A {displaystyle mathbb {A} } — алгебраические числа над полем рациональных чисел (подполе в поле C {displaystyle mathbb {C} } ).
    • Числа вида a + b 2 {displaystyle a+b{sqrt {2}}} , a , b ∈ Q {displaystyle a,bin mathbb {Q} } , относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров квадратичного поля, которое образует подполе в R {displaystyle mathbb {R} } .
    • F ( x ) {displaystyle mathbb {F} (x)} — поле рациональных функций вида f ( x ) / g ( x ) {displaystyle f(x)/g(x)} , где f {displaystyle f} и g {displaystyle g} — многочлены над некоторым полем F {displaystyle mathbb {F} } (при этом g ≠ 0 {displaystyle g eq 0} , а f {displaystyle f} и g {displaystyle g} не имеют общих делителей, кроме констант).

    Поля ненулевой характеристики

    Любое конечное поле имеет характеристику, отличную от нуля. Примеры конечных полей:

    • Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} — поле вычетов по модулю p {displaystyle p} , где p {displaystyle p} — простое число.
    • F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} — конечное поле из q = p k {displaystyle q=p^{k}} элементов, где p {displaystyle p} — простое число, k {displaystyle k} — натуральное. Все конечные поля имеют такой вид.

    Существуют примеры бесконечных полей ненулевой характеристики.


    (голосов:0)

    Пожожие новости
    Комментарии

    Ваше Имя:   Ваш E-Mail: