Десятиугольник
Десятиугольник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.
Правильный десятиугольник
У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.
Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны):
A = 5 2 t 2 c t g π 10 = 5 t 2 2 5 + 2 5 ≈ 7.694 t 2 . {displaystyle A={frac {5}{2}}t^{2} ctg{frac {pi }{10}}={frac {5t^{2}}{2}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}approx 7.694t^{2}.}
Альтернативная формула A = 2.5 d t {displaystyle A=2.5dt} , где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:
d = 2 t ( cos 3 π 10 + cos π 10 ) , {displaystyle d=2tleft(cos { frac {3pi }{10}}+cos { frac {pi }{10}} ight),}
и может быть представлен в радикалах как
d = t 5 + 2 5 . {displaystyle d=t{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}.}
Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна 5 − 1 2 = 1 φ {displaystyle { frac {{sqrt {5}}-1}{2}}={ frac {1}{varphi }}} , где φ {displaystyle varphi } - золотое сечение.
Радиус описанной окружности десятиугольника равен
R = 5 + 1 2 t , {displaystyle R={frac {{sqrt {5}}+1}{2}}t,}
а радиус вписанной окружности
r = 5 + 2 5 2 t . {displaystyle r={frac {sqrt {5+2{sqrt {5}}}}{2}}t.}
Построение
По теореме Гаусса — Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку. На диаграмме показано одно из таких построений. Иначе его можно построить следующим образом:
Разбиение правильного десятиугольника
Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный 2 m {displaystyle 2m} -угольник (в общем случае - 2 m {displaystyle 2m} -угольный зоногон) можно разбить на m ( m − 1 ) 2 {displaystyle {frac {m(m-1)}{2}}} ромбов. Для декагона m = 5 {displaystyle m=5} , так что он может быть разбит на 10 ромбов.
Пространственный десятиугольник
Пространственный десятиугольник — это пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.
У правильного пространственного десятиугольника все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D5d [2+,10] симметрией порядка 20.
Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные десятиугольники.
Многоугольники Петри
Правильный пространственный десятиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.
